1 等式

在上一节中，我们表示两个集合相等时用到的符号“=”，叫做等号（equals sign）。在数学中，我们更多的时候用等号把两个数量连接起来，这样的式子叫做等式（equation）。数量由数字和单位名称组成，在数学上经常把单位抽象为“1”，此时单位可以省略。

或许这个也是等式

例1 列举几个常见的等式。

答：（1）1米=3尺；

（2）1公亩=15亩；

（3）；

（4）1打=12个。

（5）1万=1 0000。

等式具有以下性质：

（1）自环性，任意一个数量等于它本身：a=a；

（2）对称性，等式两边可以互换：若a=b，则b=a；

（3）传递性，等式两边可以通过相等的中间项相互关联：若a=b，b=c，则a=c。

鉴于传递性，我们可以将一系列相等的数量用“=”连接起来，记作：

比如：1吨=1000千克=1百万克=2000斤=2万两。

对等式的否定，我们使用“≠”。容易证明，用“≠”连接的式子具有对称性，即：若a≠b，则b≠a。但不具有自环性或传递性。

2映射

对于两个非空集合A、B，如果存在一种对应关系f，而且，记作，我们称f是从A到B的映射（map）。其中，b称为元素a在映射f下的象（image），记作。a称为b关于映射f的象源（preimage）。集合A中所有元素的象的集合称为映射的值域（range），记作。

根据等式的定义和映射的性质，我们可以得到一个应用很广的性质：对于映射，若，则。

映射

观察图1（1）由于A中元素3对应了B中两个元素，而元素5没有对应的象，所以它不是映射。

如图1所示，对于映射，若，则称f是从A到B的满射（surjection）；若，则称f是从A到B的单射（injection）；若f既是满射又是单射，则称为双射（bijection）。

映射的概念在很多特定的数学领域的底层逻辑中都有应用，在接下来建立自然数集就要用到。

1.3.3 关系符号

像“=”、“≠”一样，表示事物与事物之间某种关系的符号叫做关系符号（relational symbol）。在上一节中，我们用到的等符号也是关系符号，今后还会遇到更多的关系符号。它们有些也具有“=”类似的性质，具体如表1.3.1。

表1 关系符号的性质

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